Himpunan (Matematika)

   

   Banyak sekali rumus matematika di dunia ini, salah satunya adalah himpunan, apakah himpunan itu? dan bagaimana poenyelesaiannya?

Sejarah

   Georg Cantor adalah doktor, guru besar, matematikawan, penemu teori himpunan sekitar tahun 1873 pada saat ia berumur 28 tahun dari Jerman yang lahir pada 1845 dan meninggal pada 1918.
    Banyak matematikawan tidak melihat pentingya teori himpunan tersebut, tetapi pada saat ini teori tersebut terkenal sedunia.

 





   Himpunana adalah suatu kelompok, golongan, atau kumpulan dari sesuatu. Untuk lebih memahami himpunan, lihat contoh dibawah ini!

Gambar 1.0

Dari gambar di atas, kita dapat menemukan hal-hal berikut, yaitu:

1. Anggota dari himpunan grup 1 adalah: Arman, Samyir, Dani, Hanif. 

    Himpunan Group 1 dapat ditulis: Grup 1= {Arman, Samyir, Dani, Tono}

           

2. Anggota dari himpunan grup 2 adalah: Rudi, Masrur, Dini, dan Tono.

    Himpunan Group 2 dapat ditulis: Grup 2= {Runi, Masrur, Dini, Tono}.

Informasi :

- Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital : A,B,C,D,...

- Anggota Himpunan harus diapit oleh kurung kurawal

- Dalam gambar 1.0 bahwa Hanif adalah anggota atau elemen Grup1, maka dilambangkan dengan          Hanif ∈ Grup 1

- Dalam gambar 1.0 bahwa Tono adalah anggota atau elemen Grup 2, maka dilambangkan dengan Tono ∈ Grup 2

- Dalam gambar 1.0 bahwa Masrur tidak termuat dalam Grup 1, maka dilambangkan dengan Masrur ∉ Grup 1

- Dalam gambar 1.0 bahwa Hanif tidak termuat dalam Grup 2, maka dilambangkan dengan Hanif ∉ Grup 2

Cara Menyatakan atau Menyajian suatu Himpunan
Ada beberapa cara penyajian himpunan, yaitu sebagai berikut.
    

1. Mendaftarkan anggota dari suatu himpunan tersebut (Enumerasi)

Cara menyatakan himpunan dengan mendaftarkan anggotanya adalah sebagai berikut:

A={1,3,5,7}

B={1,2,5,6,7}

D={s,e,n,i}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki oleh anggotanya.

Cara menyatakan himpunan dengan menyatakan sifat yang dimiliki oleh anggotanya adalah sebagai berikut:
A = Himpunan pulau besar di Indonesia
B = Himpunan kabupaten di kota Makassar
C = Himpunan bilangan cacah.

3. Menyatakan Notasi dari pembentuk suatu himpunan.
Penyajian himpunan ini dengan cara menuliskan syarat dari keanggotaan suatu himpunan tersebut. Contoh: A = {x | x huruf vokal}, "x" disini adalah perwakilan dari anggota himpunan tersebut. Simbol "x" bisa di ganti dengan huruf variabel lainnya. Contoh Himpunan yang disajikan dalam notasi adalah sebagai berikut.
A = {2,4,6,8,...} jika ditulis dalam notasi akan menjadi A = {x | x bilangan genap}, dibaca A adalah himpunan yang mempunyai anggota x, yang dimana/dengan x adalah bilangan benap
            
B = {y | y < 15, y adalah bilangan ganjil}
C = {z | z > 5, z adalah bilangan cacah}

Konsep himpunan dalam diagram Venn

Gambar diatas adalah bentuk-bentuk dari diagram venn.
a) Untuk himpunan berpotongan                              c) Untuk himpunan (berpotongan) sama (A=B)
b) Untuk himpunan saling lepas (A // B)                 d) Untuk himpunan bagian (A⊂B)

Cara membuat konsep himpunana dalam diagram venn.
- Amatilah anggota dari himpunan tersebut
- Carilah dua bilangan yang sama dari kedua himpunan tersebut (bila ada)
- Buatlah diagram venn yang cocok untuk kedua himpunan
- Masukkanlah anggota dari kedua anggota himpunan  kedalam diagram venn dengan memberikan noktan (titik) didepannya.
Contoh:

S (Semesta) = {1,2,3,4,5}
A = {1,2,5}
B = {1,2,3,4,}

Himpunan Bagian dan himpunan Kosong

- Himpunan bagian (⊂)

Himpunan bagian adalah anggota dari himpunan yang sama dengan anggota himpunan lainnya. Contoh:

A={1,2,3}

B={1,2,3,5,8}

Dari contoh diatas, semua anggota himpunan A ada/adalah salah satu anggota dari himpunan B, maka himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B atau A⊂B.

- Himpunan Kosong {} / ∅

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan "{}" atau "∅" dan himpunan kosong berbeda dengan {0}. Contoh himpunan kosong adalah sebagai berikut.

G = Himpunan gajah yang dapat terbang

J = Himpunan bilangan prima yang mempunyai 4 faktor

Dari contoh diatas, kita dapat tulis juga.

G = ∅

J = ∅

Operasi Himpunan

1. Irisan (∩)

Operasi Irisan adalah operasi himpunan yang hasilnya adalah anggota himpunan yang sama dari dua himpunan. Contoh operasi irisan adalah sebagai berikut.

A = {1,2,5}
B = {1,2,3,4,}                              A∩B = ?

Rumus : n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A∪B)

Notasi  : A∩B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

2. Gabungan (∪)

Operasi gabungan adalah operasi himpunan yang hasilnya adalah semua anggota dari kedua himpunan. Contoh operasi gabungan adalah sebagai berikut.

A = {1,2,5}
B = {1,2,3,4,}                          A∪B = ?

Rumus : n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

Notasi  : A∪B = {x | x  ∈ A atau x ∈ B}

3. Selisih (-)

Contoh operasi selisih adalah sebagai berikut.

A = {1,2,5}
B = {1,2,3,4,}                        A-B = ?

Notasi : A-B = {x | x  ∈ A, x ∉ B}

4. Komplemen/Complement ( ...^c )

                       

                                  B^c

B^c = {5}

Sifat-sifat operasi himpunan
1. Sifat Idempoten
Sifat Idempoten adalah sifat himpunan dimana A∪A=A ; A∩A=A

2. Sifat Identitas
3. Sifat Komutatif
4. Sifat Asosiatif
5. Sifat Distributif